A geometria diferencial é uma área fundamental de matemática pura, que utiliza as nossas ideias de cálculo diferencial e integral em aplicações geométricas. Em espaço euclideano os primeiros objetos que vemos são retas e planos, mas nas nossas aventuras em Cálculo, também já vimos curvas e superfícies, como conjuntos de nível de funções suaves. Estudaremos essas curvas e superfícies de uma forma mais geométrica, para entender quais são as propriedades mais importantes para diferenciar entre espaços diferentes. Primeiro, estudaremos a curvatura e a torsão de uma curva, como uma maneira de medir como uma curva deixa de ser reta. A ideia fundamental de curvatura estende-se para superfícies e veremos no teorema Egregium de Gauss que a curvatura é uma característica intrínsica da superfície e não de como é mergulhada em espaço euclidiano.